2016年10月11日星期二

拋物線

相關知識
注:P為拋物上任意點,F為拋物線的焦點,N為P到準線的垂足
























拋物線y= 4ax,過切點(s,t)的切線方程為 ty = 4a(x+s)/2

練習題
簡單題
1. 拋物線的頂點為(0,0),焦點為(4,0),求拋物線方程。
2. 拋物線的頂點為(3,0),焦點為(3,-2),求拋物線方程。
3. 拋物線的頂點為(0,0),準線為 y = 5,求拋物線方程。
4. 拋物線的頂點為(0, -4),準線為 x = -2,求拋物線方程。
5. 拋物線的頂點為(2,1),焦點為(5,1),求拋物線方程。
6. 求拋物線y= 4ax上一點P(ap2, 2ap)的切線方程。

中等題
1. 拋物線的焦點和頂點分別是(4,5)及(-2,5),求此拋物線的方程。
2. 求拋物線y2+4y+8x-2=0的頂點,焦點,正焦弦長。
3. P是拋物線y= 16x上一動點,M是P與原點O的中點,求M的軌跡方程。
4. P(ap2, 2ap),Q(aq2, 2aq)兩點的連線是拋物線y= 4ax的焦弦,証明pq = -1。
5. 求過拋物線 x= 8y 上一點(-4 , 2)的切線與法線方程式。
6. 拋物線的準線是x+y-3=0,焦點是(1,0),求此拋物線方程。

不想分類的題目
1. P是拋物線y= -12x上一點,F是拋物線的焦點,Q(-4,2),求 |PF|+|PQ|的最小值。
2. 求拋物線 y= 9x上一點P使其與直線2x-y+12=0距離最小。
3. 求經過原點且與拋物線x= 4y - 4相切的直線方程。
4. 已知P(p2, 2p),Q(q2, 2q)是拋物線y= 4x上的兩點,証明
     i) P,Q的切線相交於R(pq, p+q)
     ii) 直線PQ的方程式為 2x - (p+q)y+2pq=0
    iii) 過原點O與點R的直線與直線PQ相交於N且pq = -2,証明N的軌跡是一個圓。
5. 直線L 與拋物線x= 20y 相交於P與Q兩點,已知P與Q的縱坐標之和是15,求|PF|+|QF|之值,F為拋物線的焦點。
6. A和B是拋物線(y-4)= 24(x+3)上的兩點,C是拋物線的頂點,若△ABC是等邊三角形,求其面積。

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